Logika Modern

Logika Modern atau logika simbolik mulai dikembangkan dari logika klasik oleh Augustus De Morgan (1806-1871) dan George Boole (1815-1864), yang merupakan para ahli matematika Inggris pada pertengahan XIX. Kemudian logika tersebut dikembangan dan diperkaya lagi dengan penemuan-penemuan dari Gottlob Frege (1848-1925), Bertrand Russel (1872-1970), Alfred North Whitehead (1861-1947), dilanjutkan dengan beberapa nama lainnya.

Bertrand Russel dan Alfred North Whitehead mengembangkan sistem logika yang membahas tentang argumen-argumen yang memungkinkan sesuatu dapat dimasukkan ke dalam bentuk yang lebih luas dari bentuk silogistik. Dalam logika modern ini dikenal simbol-simbol untuk kalimat yang lengkap dan perangkai-perangkai (connectives) yang akan merangkainya, misalnya “and”, “or”, “if…then…”, “…if and only if …” dan yang lainnya.

George Boole mengembangkan logika modern menjadi dasar pembuatan aljabar Boole (Boolean algebra). Aljabar boolean inilah yang menjadi dasar teori pengembangan komputer digital, terutama di bidang mikroprosesor sebagai otak dari komputer digital.

Semua well-formed sentences di dalam logika modern memiliki satu nilai saja dari dua nilai berikut, yaitu benar (true) atau salah (false). Nilai benar dapat diganti angka 1, sedangkan nilai salah diganti angka 0. Logika inilah yang disebut logika dua nilai (“two-valued-logic” atau “bivalent”), karena hanya memiliki dua kemungkinan nilai, yaitu benar atau salah.

Dalam logika, suatu well-formed sentence akan diformulasikan dalam bentuk rumus sehingga dinamakan well-formed formulae. Suatu ekspresi logika ini akan dimanipulasi dan diproses dengan berbagai rumus-rumus yang sesuai dengan kaidah-kaidah matematika. Logika matematika yang menangani masalah well-formed formulae yang hanya memiliki nilai benar atau salah adalah logika proposisi dan logika predikat.

Logika modern terdiri dua jenis, yaitu logika proposisi dan logika predikat.

Logika Proposisi

Logika proposisi dikembangkan oleh George Boole dan Augustus De Morgan mengistilahkannya dengan nama logika simbolik, ini karena logika tersebut bekerja dengan cara memanipulasi simbol-simbol. Fokus utamanya pada pernyataan-pernyataan yang dapat digolongkan dalam pengertian proposisi-proposisi. Dalam logika proposisi, terdapat pembahasan mengenai pernyataan tunggal dan kata hubungnya sehingga didapat kalimat majemuk yang berupa kalimat deklaratif. Dasar pemberian nilainya kemudian diformulasikan pada tabel kebenaran atau truth tableyang diperkenalkan oleh Emil L. Post di tahun 1897-1954 dan Ludwig J.J Wittgenstein di tahun 1889-1951.

Logika proposisi dikembangkan lebih lanjut oleh Bertrand Russel (1872-1970), Alfred North White Head (1861-1947), Charles Sanders Pierce (1839-1914) yang kemudian diabadikan pada Pierce Arrow, John Venn (1834-1923) yang dikenal karena Venn Diagram ciptaannya, Kurt Godel (1906-1978) yang memperkenalkan Godel’s Theoremdan Incompletness Theorem, Charles Lutwidge Dogson (1832-1898) yang juga adalah seorang pengarang Alice in Wonderland, Gerhard Gentzen (1909-1945) pelopor Natural Deduction dan Sequent Calculus, dan beberapa para ahli lainnya.

Augustus De Morgan sendiri pada akhirnya berhasil membuktikan kesalahan silogisme. Dimana logika proposisi tidak dapat diselesaikan jika dalam pernyataan-pernyataannya terdapat kata ‘semua’, ‘ada’, atau beberapa kata lainnya. Contohnya seperti di bawah ini:

-     Semua kucing adalah hewan.

Dengan demikian, semua kepala kucing adalah kepala semua hewan

-     A= Semua mahasiswa pandai.

B= Budi seorang mahasiswa.

C= Dengan demikian, Budi pasti pandai.

Maka bentuk ekspresi logikanya adalah:

(A∧B)→C : tidak bisa dibuktikan

Jika ingin diselesaikan dengan logika proposisi, pernyataan-pernyataannya harus diubah menjadi:

A→B=Jika Badu mahasiswa, maka ia pasti

pandai.

A=Badu seorang mahasiswa.

B=Dengan demikian, ia pasti pandai

((A→B)∧A)→B

Logika Predikat

             Logika predikat pertama kali diperkenalkan oleh Sir William Hamilton (1788-1856) dengan doktrinnya yang dinamakan Quantification Theory. Logika predikat yang disebut juga logika kuantifikasi/pengkuantoran logika ini, adalah logika yang menangani pernyataan-pernyataan yang tidak mampu diselesaikan oleh logika proposisi.

Logika predikat kemudian dikembangkan lagi oleh beberapa nama ilmuwan, yang pertama adalah Gottlob Frege, ada pula David Hilbert dan Wilhelm Ackerman yang pada tahun 1928 memperkenalkan formula-formula logika predikat yang disebut First Order Logic. George Boolos dan Steward Shapiro ikut mengembangkan pendapat tentang logika predikat yang disebut Second Order, tetapi beberapa ahli lainnya termasuk Willard Van Orman Quine menentang pendapatnya saat itu.

Dalam logika predikat terdapat beberapa istilah penting, yaitu term (kata benda/subjek), predikat (properti dari item), fungsi proposisional (fungsi), kuantor universal dan eksistensial. Dimana kuantor universal adalah kuantor yang selalu bernilai benar (∀), sedangkan kuantor eksistensial adalah kuantor yang dapat bernilai benar atau salah (∃). Logika predikat disebut juga first order predicate logic karena ia mengembangkan first order logic atau logika proposisi. Salah satu contohnya dapat dilihat pada pernyataan-pernyataan dalam argumen berikut:

Semua burung memiliki sayap

Winky seekor burung

Dengan demikian, Winky memiliki sayap

Validitas argumen di atas hanya bisa dibuktikan dengan logika predikat, dengan adanya ciri yang memiliki dan kata “semua”, menunjukkan adanya suatu masalah pengkuantifikasian atau pengkuantoran yang sangat penting pada logika predikat. Untuk kuantor universal dan kuantor eksistensial dapat diperhatikan pada contoh di bawah ini:

-         Kuantor Universal

Semua burung memiliki sayap

B(x) = burung

S(x) = sayap

Bentuk logika predikatnya: (∀x)(B(x)→S(x))

Dibaca: untuk semua x, jika x seekor burung, maka x memiliki sayap.

-        Kuantor Eksistensial

Ada bilang prima yang bernilai genap

P(x) = bilangan prima

G(x) = bernilai genap

Bentuk logika predikatnya: (∃x)(P(x)ΛG(x))

Dibaca: ada x, yang x adalah bilangan prima dan x bernilai genap.